避難に際して、キャリーやかごを使用されると思います。キャリーは通院などで使用され、慣れているものをお使いになるのが一番かなと思います。
ただ、うちの場合は移動とキャリーが大嫌いなので狭い目のものを使用しています（二つ重ねてレジかご用バッグに入れ、紐を閉じます。転がしたりしても紐がほどけない限り最悪、逃がしてしまうことは避けられると。あと、外が見えると怖がるので暗くしています。）。これは避難そしてその後の避難生活には向かないと思います。かごもうさぎさん用で大きいですから（二羽いますし）持って運べる自信もない。なので、災害時用のものを思案中です。専用カバーがついているものにしようかなあ。キャリーも、アクリルのしっかりしたもの、ステンレスのもの、運びやすいリュックサック型のもの、今は様々なキャリーがありますね。
わんこさんにゃんこさん用のキャリーも大型さんなどでは使われていますね。ペットシーツを敷けるタイプのものもあるようで、これは便利かも。ソフトな折り畳み式ケージは、かごと二重にして羽根やごはんの飛び散り防止に使用したり、（周囲の安全を確保した上で）簡易な放鳥に使用したりできそうですね。折り畳んでおけば場所も取りませんし。
とりきち横丁さんにも、折り畳みのソフトなキャリーがありますね。お水入れやごはん入れをどうやってつけるのかが、お写真ではよくわからないのですが。
折りたたみ式バードキャリー
http://torikichi.cart.fc2.com/ca21/776/
かごの場合は背負子があると便利だそうです。物資の運搬にも便利ですね。
一つのかごを仕切って使う方法を、とりみカフェさんが紹介されていますが（ローリー・ロリキートの防災トップページのリンク参照）、扉が三つあるかごを三つに仕切る方法です。扉の位置によっては、お世話をする時に難しいです。逃げられたり噛まれたりしないよう気をつけねばなりません。段ボールなどに切れ込みを入れて作られておられますが、私のような不器用者ではそれはちょっと無理かな？かごのサイドに段ボールをあてて大きさをはかって切り、四隅に穴を開けて紐を通す。それをかごの中に入れて紐で括り付ける、ならできるかもしれません。ただ、うちのように段ボール齧りが大好きな鳥さんには向きませんね。プラスチックなどの板などを準備しておかねばなりません。
キャリーであれ、かごであれ、お水入れとごはん入れは、できれば替えがあるといいですね。かごを仕切る場合には、引っ掛けるタイプや、直に置ける陶器のものがいいでしょう。もも福さんの、おでかけやっほーステージは引っ掛けるタイプには便利です。キャリーでもかごでも使えます。うちのようにひっくり返しが大好きな鳥さんは固定式でなければ難しいですけどね・・・。
もも福さんのサイト。5種類から選べます。